几何拓扑是否还是一个有前途的领域，学习需要怎样的基础？

题主是国内数学系在读本科生，打算将来从事纯数学科研（如果能做的下去的话）。对几何与拓扑领域感兴趣，但目前还没有明确将来的具体研究方向。我有一定的黎曼几何、复几何、微分拓扑、代数拓扑基础，喜欢直观的几何，曾经想主攻微分几何领域。随着越来越深入的学习，我依然挺喜欢微分几何的，但不像我曾经设想的那样几何是需要很多想象力的东西。最近试图把眼光放在几何拓扑/低维拓扑上，了解了一些 Donaldson、Smale 等人的工作后，觉得几何拓扑非常有意思，但对我而言是一个新的领域（除了基本的微分流形之类的）。我看了国外几所大学的官网，发现做几何拓扑方向的教授都很少，远不如做代数几何的，我们学校也没有相关的课程，不知几何拓扑是否还有比较大被研究的潜力？如果要入门几何拓扑的话，是否有推荐的参考书籍？几何拓扑与微分几何、代数几何之间有怎样的联系？

萌新第一次提问，请多多指教。

几何拓扑是个很泛的领域，你去搜geometric topology发现做的人少，很可能因为他们把自己分的更细，比如他们会说自己是做双曲几何的，做纽结理论的，做Heegaard Floer homology的，做gauge theory的，等等等等。你得看得更仔细一点才能从faculty list上把他们找出来。相比之下，代数几何更像是个专有名词。

你既然已经有黎曼几何复几何拓扑的基础，完全可以学点更专业的东西。你既然喜欢Donaldson的工作，可以看看gauge theory的东西（不过应该需要一些PDE基础）。喜欢Smale做的东西，那就学一些更深入的东西，cobordism，surgery theory，obstruction theory等等。几何拓扑没什么统一的纲领，不同小方向也差很大的。

低维拓扑是很有意思的，也还是个很热的领域。如大V所说，也包含很多内容。做扭结和三流形可以用gauge theory，heegaard floer，Khovanov homology, quantum invariants等，做四流形可以用gauge theory，Kirby calculus, Lefschetz fibration, Trisection等等，技术很多，可做的问题很多，做不出来的问题也很多。可以看我的另一个回答

入门的话，把微分流形和代数拓扑基础学一下。然后可以先看一些关于3,4流形的书。聂神提到了Gompf-Stipsicz, 4-manifold and Kirby calculus是经典名著。除此之外我再推荐几本：

• Scorpan, The wild world of 4-manifolds. 这本的内容和Gompf-Stipsicz有不少重合，主要的区别在于没讲Kirby calculus，内容上和写法上都更基础更友好，也有很多图，介绍了很多概念和结果，对于证明大多是给个idea，比较适合作为本科生入门了解4维流形的第一本书。
• Rolfsen, knots and links. 入门扭结理论和3维流形，里面很多例子，很具体。
• Moore, Lectures on Seiberg-Witten invariants. SW的书有很多，这本肯定也不是最好的，但我觉得是最简单的，语言上最基础的。拿来做研究肯定不够，但是适合没什么基础的人入门看。

要在低维拓扑里用 Gauge Theory 或者 Floer Theory，美国基本就下面这三个地方能学出来：

加州：Ciprian Manolescu, 倪忆老师，UCSD 和 UCD 有年轻老师。

波士顿：Cliff Taubes, Peter Kronheimer 和 Tom Mrowka，BC 有几个年轻老师。

纽约和新泽西：Francesco Lin，Simon Donaldson, Kenji Fukaya，Peter Ozsvath 和 Zoltan Szabo，（最后比较传统但因为在Princeton所以也能学别的）Gabai。

这三个地方有集团优势，交流很多，基本上可以掌握不止一种工具，有足够的师兄和博后问问题。所以你可以看看这些人的文章，或者找人介绍一下，因为一些大佬不太在意维护自己的主页。

传统上还有一些好的地方，比如 Duke, Indiana Bloomington, UT Austin, Michigan State, Univ. of Georgia, Minnesota Twin City 等等。这些地方也出人，但相对零星一点，可能就没有那么多人讨论，不热闹。

我上面是回答你说为什么感觉人比较少，也潜在地理解为你想到国外继续学习，所以说了一些学者和学校供你参考。

你要读 Gauge Theory 或者 Floer Theory，在国内稍微有点困难，没有足够多的人手带你。我的理解是，掌握里面的技术，不太困难。比如 Donaldson 和 Kronheimer 写的书。几何和分析基础好一点的学生都能读懂证明。但这是表象。重要的是理解拓扑与分析的对应。不同的几何里的对象和结构对应的 Gauge Theory 的设定有很大不同。做这个方向的问题，核心思路就是，你有一个拓扑的假设或者基本的模型，能通过这个假设看出正确的 Gauge Theory 的设定，再通过恰当的分析工具把设定好的不变量，要不算出来，要不推演出性质来。过去这30多年里积累的很多套路，在学习时你应该保证随时身边有个懂的人可以问。

虽然看起来 Gauge Theory 是在解方程，但实际上有很多比较直观的地方。比如很多简单的流形，你可以把解弄得很清楚。然后你就要考虑如何把这些简单的东西放到复杂的流形里去做新的构造。但因为要保持模空间的一些好性质，你就要小心翼翼地操作几何或者拓扑。当拓扑上有一些奇性的地方，可以用分析直接打包。当你意识到有些操作会出现在有奇性的地方，你再把这个包裹打开。

所以你可以考虑先熟悉一下古典的拓扑，了解很多遗留问题的根源，这样念研究生的时候，有更多问题做。因此读点儿纽结，三维流形，四维流形应该更有收获。 四维流形，最适合读的还是 Stipcsz 和 Gompf 的书。纽结的话，Lickorish, Rolfsen, Kauffmann 都不错。三维流形的话，我推荐 Hempel, Saveliev, 或者 Schultens吧。

不过如果你觉得 Heegaard Floer Homology 比较有趣，可以直接学，读原本的文章和网络上的讲义都可以。这套理论走到今天，已经比较代数和组合了，计算可以做（但在今天比较难发现容易的东西去算），结构也丰富，总可以有点儿东西做。缺点就是，不太直觉（里面很多关系还是从 Gauge Theory 看自然一点），做的人比较多。

学习需要的基础，自己看着办吧。

几何拓扑还是比较有前途。目前还有一些大问题没有搞清楚，各个小问题上做的人算不上拥挤。我个人的结论是：有小问题可以上手，有大问题可以追问意义，就算得上比较有前途了。

如果你要做没有 Gauge Theory 和 Floer Theory 的低维拓扑。还能走到 Contact Topology，比如 Ko Honda 和 John Etnyre，我感觉基本是在做 Symplectic Filling, Tight vs Overtwisted, Contact Surgery， Open Book Decomposition 这些工具，不是很清楚最近不用 Gauge Theory 做出了哪些好的拓扑结果。辛几何就要和Mirror Symmetry 有关系，关心的问题是辛几何内部的问题，不太涉及拓扑。

也有少部分人做纯粹古典的几何拓扑，或许 Trisection 能够算一个比较有前途的工具。Akbulut 也在用 Handle Theory 做一些 Cork, Slice Knot 相关的问题。但我觉得目前纯粹靠画图来找一些强有力的模型，似乎有些困难了，有点儿像上世纪7080年代的纽结理论吧。不过 Kirby Diagram 的辅助性依然很强。

另外像双曲几何，与拓扑相关的表示论，几何群论，时不时也能听到一些有趣的问题，入门应该还算容易，但后续水的深浅如何及池子的大小（这指数学上的，找教职之类的应该先放一边），我就完全不知道了。

我又想了想，觉得上面个三个地方学低维拓扑，如果能去，仅仅在找教职的考量下，就真挺值得一去。我看了下近十年来毕业的学生，感觉90%都还在学术界。基本可以认为申请到了，就是一个5+3的项目：5年的博士，完了来一个简单的中期考核，再来3年博后。中国人还可以回国找教职。没继续做的，估计也是不喜欢了，或者身边有其他诱惑了。

就这么戏说一下，真实的情况还是圈内人来回答比较好。

smale的工作是在五维及以上。donaldson freedman在四维。floer perelman在三维。这几个人中donaldson和floer基本研究方法都是gauge theory。或者辛几何中的伪全纯曲线形成的模空间。在这个方向上现在发展的最远的应该是kronheimer mrowka，ozsvath szabo，seidel，abouzaid，manolescu等人。规范理论在seiberg witten出来以后四流形有很多很有意思的结果，这使得对instanton的研究有所停滞。而且在三维最初对于knots的进展也有限（floer本人就定义过）而辛几何的heegaard floer对于knots很有杀伤力。直到kronheimer mrowka规范理论在knot上才真正有所突破。

教科书本人所看的范围超不过其他答主。但笔者另有一建议：想做拓扑场论方法的低维拓扑，出国是更好的选择。你要知道seiberg witten不变量的定义你需要会主丛上的联络，dirac算子，fredholm择一，椭圆方程。恐怕很多口口声声做几何的知道主丛的联络就很费劲了，你还让他懂椭圆方程？更不用说要把morse理论搞到无穷维的floer同调了。做方程的估计更难有主观能动性的把方程用于几何吧？

其他答主讲得都很详细，我做个补充。Danaldson,Smale的工作我不甚了解，Gromov,Thurston的工作其实也挺符合你的描述的。特别是Gromov的工作，会大量使用微分几何工具来处理拓扑问题。如果你感兴趣这一方向，我不推荐看书（似乎也没有什么好的书我能想起来，除了Thurston那本Three dimensional geometry and topology，但说实话我自己也没有看完。。），直接看文章就好了，你说的这些预修知识肯定够了。另外看你描述，似乎我这个回答里提到的Gromov的几篇文章可能会对你胃口，你可以试着读一读。

但是Gromov的文章有的不好念，不过没关系，他的文章大多都是碎片式的思想，我都是反复读的（有的读过不下十遍），每次读都能读出新的东西来。就好比喝酒，有的酒烈，有的酒柔，有的酒要一口闷，有的酒要细细品，找到适合自己taste的那一种即可。