数学优化问题(最优化问题)

数学优化（Mathematical Optimization）问题，也叫最优化问题，是指在一定约束条件下，求解一个目标函数的最大值（或最小值）问题。
数学优化问题的定义为：给定一个目标函数（也叫代价函数）f : A → R，寻找一个变量（也叫参数）x^?∈ D，使得对于所有D中的x，f(x^?) ≤ f(x)（最小化）；或者f(x^?) ≥ f(x)（最大化），其中D为变量x 的约束集，也叫可行域；D中的变量被称为是可行解。

根据输入变量x的值域是否为实数域，数学优化问题可以分为离散优化问题和连续优化问题。

1.1 离散优化和连续优化

离散优化（Discrete Optimization）问题是目标函数的输入变量为离散变量，比如为整数或有限集合中的元素。连续优化（Continuous Optimization）问题是目标函数的输入变量为连续变量x ∈ R^d，即目标函数为实函数。离散优化问题主要有两个分支：

1. 组合优化（Combinatorial Optimization）：：其目标是从一个有限集合中找出使得目标函数最优的元素。
2. 整数规划（Integer Programming）：输入变量x ∈ Z^d为整数。

离散优化问题的求解一般都比较困难，优化算法的复杂度都比较高。后面的内容主要以连续优化为主。

1.2 无约束优化和约束优化

在连续优化问题中，根据是否有变量的约束条件，可以将优化问题分为无约束优化问题和约束优化问题。
无约束优化问题（Unconstrained Optimization）的可行域为整个实数域D=R^d，可以写为
其中x ∈ R^d为输入变量，f : R^d → R为目标函数。
约束优化问题（Constrained Optimization）中变量x需要满足一些等式或不等式的约束。约束优化问题通常使用拉格朗日乘数法来进行求解。

1.3 线性优化和非线性优化

如果目标函数和所有的约束函数都为线性函数，则该问题为线性规划问题（Linear Programming）。相反，如果目标函数或任何一个约束函数为非线性函数，则该问题为非线性规划问题（Nonlinear Programming）。
在非线性优化问题中，有一类比较特殊的问题是凸优化问题（Convex Programming）。在凸优化问题中，变量x 的可行域为凸集，即对于集合中任意两点，它们的连线全部位于在集合内部。目标函数f也必须为凸函数，即满足
凸优化问题是一种特殊的约束优化问题，需满足目标函数为凸函数，并且等式约束函数为线性函数，不等式约束函数为凹函数。

优化问题一般都是通过迭代的方式来求解：通过猜测一个初始的估计x₀，然后不断迭代产生新的估计x₁, x₂, · · · x_t，希望x_t最终收敛到期望的最优解x^?。一个好的优化算法应该是在 一定的时间或空间复杂度下能够快速准确地找到最优解。同时，好的优化算法受初始猜测点的影响较小，通过迭代能稳定地找到最优解x^?的邻域，然后迅速收敛于x^?。
优化算法中常用的迭代方法有线性搜索和置信域方法等。线性搜索的策略是寻找方向和步长，具体算法有梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。

2.1 全局最优和局部最优

对于很多非线性优化问题，会存在若干个局部的极小值。局部最小值，或局部最优解x^?定义为：存在一个δ > 0，对于所有的满足||x ? x?|| ≤ δ 的x，公式f(x^?) ≤ f(x)成立。也就是说，在x^?的附近区域内，所有的函数值都大于或者等于f(x^?)。对于所有的x∈A，都有f(x?) ≤ f(x)成立，则x^?为全局最小值，或全局最优解。一般的，求局部最优解是容易的，但很难保证其为全局最优解。对于线性规划或凸优化问题，局部最优解就是全局最优解。