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拓扑优化经典99行程序解读

Sigmund教授所编写的top优化经典99行程序，可以说是我们拓扑优化研究的基础；
每一个新手入门都会要读懂这个程序，才能去扩展，去创新；
99行程序也有好多个版本，用于求解各种问题，如刚度设计、柔顺机构、热耦合问题，但基本思路大同小异；
本文拟对其中的一个版本进行解读，愿能对新手有点小小的帮助。
不详之处，还请论坛内高手多指点
读懂了该程序，只能说是略懂拓扑优化理论了，
我手里就有一些水平集源程序是成千上万行，虽然在99行的基础上成熟了很多，但依然还有很多的发展空间。
源程序如下：
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%
%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%
function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);
nelx=80;
nely=20;
volfrac=0.4;
penal=3;
rmin=2;
% INITIALIZE
x(1:nely,1:nelx)=volfrac;
loop=0;
change=1.;
% START ITERATION
while change > 0.01
loop=loop + 1;
xold=x;
% FE-ANALYSIS
=FE(nelx,nely,x,penal);
% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS
[KE]=lk;
c=0.;
for ely=1:nely
for elx=1:nelx
n1=(nely+1)*(elx-1)+ely;
n2=(nely+1)* elx +ely;
Ue=U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);
c=c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;
dc(ely,elx)=-penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;
end
end
% FILTERING OF SENSITIVITIES
[dc]=check(nelx,nely,rmin,x,dc);
% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD
[x]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);
% PRINT RESULTS
change=max(max(abs(x-xold)));
disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...
' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...
' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])
% PLOT DENSITIES
colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);
end
%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)
l1=0; l2=100000; move=0.2;
while (l2-l1 > 1e-4)
lmid=0.5*(l2+l1);
xnew=max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dchttps://www.jishulink.com/post/lmid)))));
if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;
l1=lmid;
else
l2=lmid;
end
end
%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)
dcn=zeros(nely,nelx);
for i=1:nelx
for j=1:nely
sum=0.0;
for k=max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)
for l=max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)
fac=rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);
sum=sum+max(0,fac);
dcn(j,i)=dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);
end
end
dcn(j,i)=dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);
end
end
%%%%%%%%%% FE-ANALYSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function =FE(nelx,nely,x,penal)
[KE]=lk;
K=sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));
F=sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U=zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);
for elx=1:nelx
for ely=1:nely
n1=(nely+1)*(elx-1)+ely;
n2=(nely+1)* elx +ely;
edof=[2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];
K(edof,edof)=K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;
end
end
% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)
F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1)=1;
fixeddofs=[2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)];
alldofs=[1:2*(nely+1)*(nelx+1)];
freedofs=setdiff(alldofs,fixeddofs);
% SOLVING
U(freedofs, ：）=K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,：）;
U(fixeddofs,：）=0; % 这两行复制后应换成英文字符，我这里为了防止生成QQ表
% 情修改了一下格式
%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [KE]=lk
E=1.;
nu=0.3;
k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...
-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];
KE=E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)
k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)
k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)
k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)
k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)
k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)
k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)
k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
程序执行方法：（just for matlab new users）
打开matlab，点开new M-file，将上述源程序复制粘贴到M-文件中，修改蓝色部分的格式，保存。按F5即可执行~~

程序个人解读（会针对大家的提问，高手们的解释，不断补充更新）：
主程序部分：
包括：数据初始化；有限元分析；敏度分析，OC算法，结果显示
function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);
nelx=80; % x轴方向的单元数
nely=20; % y轴方向单元数
volfrac=0.4; %体积比
penal=3; %材料插值的惩罚因子
rmin=2; %敏度过滤的半径
% INITIALIZE
x(1:nely,1:nelx)=volfrac; %x是设计变量
loop=0; %存放迭代次数的变量
change=1.; %每次迭代目标函数的改变值，用以判断何时收敛
% START ITERATION
while change > 0.01 %当两次连续目标函数迭代的差小于等于0.01时，结束迭代
loop=loop + 1; %迭代次数加1
xold=x; %把前一次的设计变量赋值给xold
% FE-ANALYSIS
=FE(nelx,nely,x,penal); %进行有限元分析
% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS
[KE]=lk; %单元刚度矩阵
c=0.; %用来存放目标函数的变量.这里目标函数是刚度最大，也就是柔
%度最小
for ely=1:nely
for elx=1:nelx
n1=(nely+1)*(elx-1)+ely;
n2=(nely+1)* elx +ely;
Ue=U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);
c=c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue; %计算目标函数的值（即柔度
%是多少）
dc(ely,elx)=-penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; % 灵敏度分析的结果这一行
%和上一行可参考论文中的公式
end
end
% FILTERING OF SENSITIVITIES
[dc]=check(nelx,nely,rmin,x,dc); %灵敏度过滤，为了边界光顺一点
% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD
[x]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc); %优化准则法更新设计变量
% PRINT RESULTS
change=max(max(abs(x-xold))); %计算目标函数的改变量
disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...
' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...
' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )]) %屏幕上显示迭代信息
% PLOT DENSITIES
colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6); %优化结果的图形显示（个人认为这种图形显示方法很不好，太简单了。比较方便的图形显示应该是：
每一次迭代同时显示优化结果、目标函数曲线，然后自动保存每一次的结果）
end
OC算法子程序：
function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)
l1=0; l2=100000; move=0.2; %l1，l2用于体积约束的拉格朗日乘子
while (l2-l1 > 1e-4)
lmid=0.5*(l2+l1);
xnew=max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dchttps://www.jishulink.com/post/lmid))))); %这里是OC算法的核心所在，具体含义可参考论文中的公式
if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0; %采用了二乘法更新拉格朗日乘子
l1=lmid;
else
l2=lmid;
end
end
敏度过滤技术子程序：
function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)
dcn=zeros(nely,nelx);
for i=1:nelx
for j=1:nely
sum=0.0;
for k=max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)
for l=max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)
fac=rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);
sum=sum+max(0,fac);
dcn(j,i)=dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);
end
end
dcn(j,i)=dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);
end
end
这一段就不多解释了，只是为了光顺边界的，现在二重敏度过滤技术用得更多一点了。理论部分可参考罗震博士的毕业论文
看不懂的代码在matlab命令窗口输入：help XXX（即你看不懂的那个关键词，比如这里的floor）
有限元求解子程序
function =FE(nelx,nely,x,penal)
[KE]=lk; %单元刚度矩阵
K=sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1)); %总体刚度矩阵的稀疏矩阵
F=sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U=zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1); %力矩阵的稀疏矩阵
for elx=1:nelx
for ely=1:nely
n1=(nely+1)*(elx-1)+ely;
n2=(nely+1)* elx +ely;
edof=[2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2]; %这里的Y轴是反向的，但是不影响最后的结果，详情请见二楼TYNGOD这位高手的解释，感谢TYNGOD。
K(edof,edof)=K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE; %将单元刚度矩阵组装成总的刚度矩阵
end
end
% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)
F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1)=1; %初始的集中力
fixeddofs=[2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)]; %固定结点
alldofs=[1:2*(nely+1)*(nelx+1)]; %所有结点
freedofs=setdiff(alldofs,fixeddofs); %自由节点
% SOLVING
U(freedofs,：）=K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,：）; %有限元求解：位移场
U(fixeddofs,：）=0; %固定节点位移为0
单元刚度矩阵的子程序：
function [KE]=lk
E=1.;
nu=0.3;
k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...
-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];
KE=E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)
k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)
k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)
k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)
k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)
k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)
k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)
k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];
这里不解释，自己可查有限元理论。个人认为这里的单元刚度求解不是很好。
最后是我的运行结果：
优化结果：